선형대수 1강 선형대수학의 개요 강의노트
사상의 종류
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전사(위로의 사상)
- 공역과 치역이 동일한 사상
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단사(일대일 사상)
- 정의역의 원소가 서로 다르면 대응하는 상도 서로 다른 사상
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전단사(일대일 대응)
- 전사이면서 동시에 단사인 사상
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역사상
- 전단사 사상에 대해서 공역의 원소를 정의역의 원소로 대응시키는 사상
행렬
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행벡터: 1 * N 행렬
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열벡터: N * 1 행렬
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정방행렬(정사각행렬)
- 행과 열의 수가 같은 행렬(N * N 행렬)
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대각행렬
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주대각 성분을 제외한 모든 성분이 0인 행렬
주대각 성분이 0이여도 대각행렬이다.
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ex
\[\begin{Bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{Bmatrix}\]
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단위행렬(항등행렬)
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주대각 성분이 모두 1이고, 나머지 성분은 모두 0인 정방행렬
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ex
\[\begin{Bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{Bmatrix}\]
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전치행렬
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어떤 행렬에서 모든 행을 각각 대응하는 열로 바꾼 행렬
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$A^T$ (A의 전치행렬)
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ex
\[A = \begin{Bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 5 & 7 & 2 \end{Bmatrix}, A^T = \begin{Bmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{Bmatrix}\]
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대칭행렬
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전치행렬이 자기 자신과 같은 행렬
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ex
\[A = \begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 2 \end{Bmatrix}, A^T = \begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 2 \end{Bmatrix}\]
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벡터(vector)
- 행이나 열이 하나 밖에 없는 행렬(행벡터 or 열벡터)
선형대수학(linear algebra)
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연립선형방정식, 벡터공간, 선형변환, 행렬을 다루는 수학 분야
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공학, 과학뿐만 아니라 경제학, 경영학, 사회학 등 거의 모든 학문 분야에서 널리 활용되는 중요한 수학적 도구
선형방정식
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선형방정식(linear equation)
- 최고차항의 차수가 1인 방정식 (=일차방정식)
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연립선형방정식(system of linear equations)
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여러 선형방정식이 모여 있는 것
\[\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 9 \\ 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 0 \\ -2x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2 \end{cases}\] -
연립선형방정식의 해(solution)
연립선형방정식의 모든 선형방정식을 만족하는 미지수들의 값
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행렬과 벡터를 이용하여 표현 가능
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벡터공간(vector space)
- 서로 더하거나 스칼라배할 수 있는 벡터들의 모음
선형변환(linear transformation)
- 벡터 $v$와 $w$, 스칼라 $c$에 대해 다음 두 성질을 만족하는 사상 $f$